Binomial Berpangkat
Deskripsi Proyek Secara Detail
Proyek ini akan dilakukan oleh kelompok yang terdiri dari 3 hingga 5 siswa, di mana tiap kelompok akan diberi tugas untuk menyelesaikan sejumlah soal ekspansi binomial, menghitung jumlah koefisien untuk tiap soal, dan akhirnya mendiskusikan relevansi dan aplikasi dari konsep ini.
Semua kelompok akan menerima sejumlah soal ekspansi binomial dan harus bekerja sama untuk menyelesaikannya.
Tentang Yosep Dwi Kristanto
Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
$$C(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$
namun, dalam ekspansi binomial, kombinasi ini sering dilambangkan dengan:
$$\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$$
disebut sebagai koefisien binomial, karena menyatakan koefisien-koefisien setiap suku pada hasil penjabaran binomial.
untuk lebih memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.
seandainya kita mencoba menjabarkan bentuk $(x+y)^n$, dengan $n$ bilangan bulat positif, kita perhatikan bahwa bentuk ini dapat kita tuliskan sebagai perkalian sebanyak $n$ faktor dari $(x+y)$. Untuk membentuk suatu suku pada hasil perkalian ini, kita harus memilih salah satu dari $x$ atau $y$ dari masing-masing faktor. Dengan kata lain, sebagian faktor menyumbangkan $x$ dan sebagian lagi menyumbangkan $y$. Banyaknya faktor yang menyumbangkan $y$ merupakan suatu bilangan bulat, misal $r$ dengan $0\leq r\leq n$, dan faktor yang tersisa yaitu sebanyak $n-r$ menyumbangkan $x$, sehingga membentuk suku $x^{n-r}y^{r}$, oleh karena itu, banyaknya suku yang berbentuk $x^{n-r}y^{r}$ ini sama dengan banyaknya cara kita memilih sejumlah $r$ variabel variabel $y$ dari $n$ variabel $y$ yang tersedia pada setiap faktor. Jadi, koefisien $x^{n-r}y^{r}$ adalah $\binom{n}{r}$
Oleh karena itu, bentuk $(x+y)^{n}$ dapat kita tulis dalam bentuk ekspansi sebagai berikut:$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$
inilah yang disebut dengan teorema binomial.
Teorema Binomial: Misalakan $x$ dan $y$ adalah variabel, dan $n$ adalah bilangan bulat positif, maka: $$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$ atau dapat pula di tulis: $$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$
Dari formula binomial : $$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$ suku ke $k$ dari hasil penjabarannya dapat ditentukan sebagai berikut: $$\boxed{\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}y^{(k-1)}}$$
Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)n menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk axbyc, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,
Koefisien a pada suku axbyc dikenal sebagai koefisien binomial ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} atau ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.
Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:
Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.[1][2]
Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.[3]:230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal.[3] Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} ,[4] dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.[4]
Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.[5] Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika.[5] Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.[2] Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui[6] dan Zhu Shijie.[2] Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.[3]:142
Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk
dimana setiap ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis
Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.
Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi
Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat
Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:
Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,
Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus (x − y)n = (x + (−y))n. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:
Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.
Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan ( x n ) ′ = n x n − 1 : {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:} [7] jika ditentukan a = x {\displaystyle a=x} dan b = Δ x , {\displaystyle b=\Delta x,} dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, ( x + Δ x ) n , {\displaystyle (x+\Delta x)^{n},} dengan suku koefisien linearnya (dalam Δ x {\displaystyle \Delta x} ) adalah n x n − 1 , {\displaystyle nx^{n-1},} wilayah dengan n permukaan, dimensi masing-masing ( n − 1 ) : {\displaystyle (n-1):}
Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – ( Δ x ) 2 {\displaystyle (\Delta x)^{2}} dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus ( x n ) ′ = n x n − 1 , {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},} yang diinterpretasikan sebagai
Kombinatorika - Ekspansi Binomial
Matematika adalah alat yang hebat yang membantu kita mengungkap dunia yang kita tinggali. Dalam proyek ini, kita akan membahas konsep yang disebut "Jumlah Koefisien Binomial", yang mungkin terlihat kompleks pada awalnya, tetapi akan meresap dalam banyak aspek dari studi Matematika kita. Konsep ini didasarkan pada teorema Newton yang terkenal, yang merupakan ekspansi dari binomial (a+b)^n. Binomial Newton bukan hanya trik matematika, tetapi alat yang memungkinkan kita mengerti fenomena alam dan ilmiah.
Teorema binomial, atau binomial Newton, adalah rumus yang memberikan ekspansi pangkat dari binomial. Teorema ini memiliki aplikasi praktis dalam beragam bidang, termasuk Fisika dan Teknik. Oleh karena itu, memahami jumlah koefisien sangat penting untuk membedakan ekspansi dari binomial. Artinya jumlah koefisien dari binomial akan sama dengan (a+b)^n.
Aplikasi dari teori binomial dan jumlah koefisiennya sangat luas. Misalnya, di bidang Fisika, ekspansi binomial dapat digunakan untuk mendekati nilai dalam beberapa persamaan, sementara di bidang Statistik, ekspansi ini digunakan dalam distribusi binomial. Di Ilmu Komputer, ekspansi binomial dan jumlah koefisien diaplikasikan pada algoritma dan program.
Untuk membantu Anda mendalami topik ini, berikut beberapa sumber terpercaya:
Judul Aktivitas: "Mengupas Ekspansi Binomial"
Mendapatkan pemahaman yang kuat tentang ekspansi binomial Newton dan jumlah dari koefisiennya, dengan mempraktikkan penyelesaian soal tentang topik tersebut dan berdiskusi secara kelompok. Tujuan utama proyek ini adalah untuk belajar menghitung soal binomial yang melibatkan jumlah koefisien dari ekspansi binomial.
Tumatan Wikipidia Banjar, kindai pangatahuan
Dalam matamatika bidang aljabar elementer, teorema binomial adalah rumus penting nang mambariakan ekspansi atawa pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:
Gasan setiap bilangan riil atawa kompleks x dan y, serta barataan bilangan bulat taknegatif n. Koefisien binomial nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n!:
Gasan contoh, gasan 2 ≤ n ≤ 5:
Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:
Paristiwa-paristiwa khusus tarkait teorema binomial nang dikatahui sejak zaman kuno diikhtisarkan barikut ngini:
Abad ka-4 SM matematikawan Yunani Euklides manyambat kasus khusus teorema binomial hagan eksponen 2.[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial hagan kubus sudah dikatahui pas abad ka-6 di India.[1][2]
Koefesien binomial, nang kaya jumlah kumbinasi nang manampaiakan banyak cara hagan mamilih k ubjik matan n tanpa panggantian, sudah manjadi parhatian urang-urang Hindu kuno. Referensi paling pamulaan nang dikatahui manganai parmasalahan kumbinasi ngini adalah Chandaḥśāstra karya panulis Hindu, Pingala (sakitar 200 SM), nang mamuat suatu mitude hagan sulusinya.[3]:230 Saikung panaliti bangaran Halayudha matan abad ka-10 M manjalasakan manganai mitudi ngini manggunaakan nang wayahini dipinandui lawan ngaran segitiga Pascal.[3] Haratan abad ka-6 M, matematikawan Hindu mungkin sudah mangatahui cara manunjukkannya dalam sabuting parsamaan n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} ,[4] wan suatu pernyataan nang jelas manganai aturan ngini kawa ditamuakan dalam naskah abad ka-12 Lilavati karya Bhaskara.[4]
Teorema binomial nang sama kawa ditamuakan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ka-11, Al-Karaji, nang manggambarakan pola sagitiga matan koefisien binomial.[5] Inya jua mambarii juga pembuktian matematika matan teorema binomial wan sagitiga lawan mamakai sabuting bantuk sadarhana matan induksi matematika.[5] Penyari wan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin sudah akrab lawan rumus-rumus lawan pangkat nang tatinggi, maskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.[2] Ekspansi binomial lawan derajat halus sudah dikatahui ulih matematikawan abad ka-13 bangaran Yang Hui[6] wan Zhu Shijie.[2] Yang Hui mahubungakan mitudi ngitu lawan naskah nang jauh labih pamulaan baasal matan abad ka-11 tulisan Jia Xian, maskipun tulisan-tulisannya wayahini jua hilang.[3]:142
Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.
Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a + b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan ilustrasi berikut.
Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)4. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan tanda panah.
Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor suku-suku ekspansi binomial, maka akan ada 24 = 16 suku ekspansi (a + b)4.
Selanjutnya, suku-suku serupa, yaitu suku-suku yang memiliki faktor a dan b sama banyak dapat dikombinasikan karena perkalian bersifat komutatif. Tetapi kita perlu mengetahui banyaknya masing-masing suku yang serupa tersebut. Sebagai contoh kita akan menentukan banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b. Untuk menentukan banyaknya suku ini sama dengan menentukan banyaknya cara kita mengambil 1 bilangan 1 sampai 4 sebagai nomor urut dari faktor b. Salah satu contohnya kita mungkin mendapat bilangan 3 yang merepresentasikan aaba (3 merupakan nomor urut dari b, sedangkan sisanya menjadi nomor urut a). Contoh lain, kita mungkin mendapat bilangan 1 yang merepresentasikan baaa. Sehingga banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah kombinasi 1 dari 4 yaitu 4. Semua suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah aaab, aaba, abaa, dan baaa.
Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, keempat suku tersebut memiliki nilai yang sama dengan a3b. Karena suku-suku yang sama dengan a3b berjumlah 4, maka koefisien dari a3b adalah 4, yang diperoleh dari kombinasi 1 (pangkat dari salah satu faktor a3b, yaitu b) dari 4 (jumlah pangkat dari semua faktor a3b).
Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4) suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa. Sehingga koefisien dari suku a2b2 adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien dari suku-suku ekspansi (a + b)4 lainnya.
Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat tidak negatif.
Teorema Binomial Diberikan sembarang bilangan real a dan b, serta bilangan bulat tidak negatif n,
Perhatikan bahwa bentuk kedua dan pertama pada persamaan di atas adalah sama, karena kombinasi 0 dari n sama dengan satu, demikian juga dengan kombinasi n dari n. Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema binomial dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah
Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa
untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2n = (1 + 1)n. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh
Karena 1n – k = 1 dan 1k = 1. Akibatnya,
Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan tersebut. Semoga bermanfaat, yos3prens.
Langkah-langkah Detail untuk Melakukan Aktivitas
Setelah menyelesaikan bagian praktis, setiap kelompok harus membuat laporan tertulis yang mencakup topik-topik berikut:
Siswa harus membuat kontekstualisasi dari topik "Jumlah Koefisien Binomial" dan relevansinya di dunia nyata. Selain itu, tujuan dari proyek ini harus dinyatakan dengan jelas.
Di bagian ini, siswa harus menjabarkan teori "Jumlah Koefisien Binomial". Mereka harus menjelaskan aktivitas yang dilakukan secara detail, menunjukkan metodologi yang digunakan dan terakhir, menyajikan dan mendiskusikan hasil yang didapat.
Siswa harus merefleksikan tentang pembelajaran utama yang didapat selama proyek dan aplikasi praktis dari teori yang dipelajari. Penting bagi siswa untuk tidak hanya menunjukkan penyelesaian masalah, tetapi juga bagaimana mereka bekerja sama untuk mencapai hasil.
Siswa harus mengutip semua sumber informasi yang digunakan untuk mempersiapkan proyek. Ini termasuk buku, situs web, video, dan lain-lain.
Laporan final harus diserahkan seminggu dari tanggal dimulainya proyek.
TRIBUN-TIMUR.COM, PINRANG -- Oknum polisi berinisial Briptu AL dilaporkan ke Polres Pinrang, Sulawesi Selatan (Sulsel).
Briptu AL dilaporkan seorang perempuan berinisial AU usai melakukan tindak penganiayaan terhadap korban.
Kasatreskrim Polres Pinrang, Iptu Andi Reza Pahlawan, membenarkan jika memang ada kasus penganiayaan yang telah dilaporkan dan kini sedang menjadi atensi bagi pihaknya.
"Kasus tersebut merupakan tindak penganiayaan. Pelakunya anggota Polri yang bertugas di Polda," katanya, Minggu (1/9/2024).
Berdasarkan laporan polisi nomor: LP/B/576/VIII/2024/SPKT/POLRES PINRANG/POLDA SULAWESI SELATAN, dugaan tindak pidana penganiayaan yang dilakukan oleh oknum polisi berpangkat Briptu AL tersebut terjadi di Kelurahan Jaya, Kecamatan Watang Sawitto pukul 03:00 dini hari pada 24 Agustus kemarin.
AL diduga memukul korban berulangkali. Tak sampai di situ, korban pun didorong, dicekik, serta dijambak rambutnya.
Akibatnya tindakan sadis itu, korban mengalami luka pada muka bagian kiri dan kanan. Lebam pada bagian tengah sebelah kanan.
Ada juga luka pada kaki sebelah kanan hingga pembuluh darah kedua matanya pecah.
Andi Reza pun belum menjelaskan secara detail mengenai motif penganiayaan tersebut.
Menurutnya, pihaknya sementara ini masih melakukan penyelidikan atas kasus tersebut.
"Kasusnya masih dalam proses penyelidikan. Penyidik masih melakukan pemeriksaan saksi-saki," ungkapnya.(*)
